Limites aux bornes

Propriété

\(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{E}(x)=-\infty\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{E}(x)=+\infty\) .

Démonstration

Pour tout réel \(x,\ \text{E}(x) \leqslant x < \text{E}(x)+1\) . (*)

• Limite en \(\boldsymbol{-\infty}\)
  De l'inégalité (*), on déduit que, pour tout réel \(x,\ \text{E}(x) \leqslant x\) .
  \(\lim\limits_{x \to -\infty}x=-\infty\)  donc, d'après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{E}(x)=-\infty\) .
  
• Limite en \(\boldsymbol{+\infty}\)
  De l'inégalité (*), on déduit que, pour tout réel \(x,\ x-1<\text{E}(x)\) .
  \(\lim\limits_{x \to +\infty}x-1=+\infty\)  donc, d'après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{E}(x)=+\infty\) .